序
周髀算经二卷，古葢天之学也。以勾股之法，度天地之高厚，推日月之运行，而得其度数。其书出于商周之间，自周公受之于商高，周人志之，谓之周髀，其所从来远矣。隋书·经籍志有周髀一卷，赵婴注。周髀一卷，甄鸾重述。而唐之艺文志天文类有赵婴注周髀一卷，甄鸾注周髀一卷，其历算类仍有李淳风注周髀算经二卷，本此一书耳。至于本朝崇文緫目与夫中兴馆阁书目皆有周髀算经二卷，云赵君卿述，甄鸾重述，李淳风等注释。赵君卿名爽，君卿其字也。如是则在唐以前则有赵婴之注，而本朝以来则是赵爽之本，所记不同。意者赵婴赵爽止是一人，岂其字文相类，转写之误耶？然亦当以隋唐之书为正可也。又崇文緫目及李籍《周髀音义》皆云赵君卿不详何代人，今以序文考之，有曰浑天有灵宪之文，葢天有周髀之法，灵宪乃张衡之所作，实后汉安顺之世，而甄鸾之重述者乃是解释君卿之所注，出于宇文周之世。以此推之，则君卿者其亦魏晋之间人乎？若夫乘勾股朱黄之实，立倍差减并之术，以尽开方之妙，百世之下莫之可易，则君卿者诚算学之宗师也。嘉定六年癸酉十一月一日丁卯冬至，承议郎权知汀州军州兼管内劝农事主管坑冶括苍鲍浣之仲祺谨书。
序
夫高而大者莫大于天。厚而广者莫广于地。体恢洪而廓落，形修广而幽清，可以玄象课其进退，然而宏逹不可指掌也。可以晷仪验其长短，然其巨阔不可度量也。虽穷神知化，不能极其妙。探赜索隐，不能尽其微。是以诡异之说出，则两端之理生，遂有浑天葢天兼而并之，故能弥纶天地之道，有以见天地之赜，则浑天有灵宪之文，葢天有周髀之法，累代存之，官司是掌，所以钦若昊天，恭授民时。爽以暗蔽，才学浅昧，邻高山之仰止，慕景行之执辙，负薪馀日，聊观周髀，其㫖约而远，其言曲而中，将恐废替，濡滞不通，使谈天者无所取则，輙依经为图，诚冀頽毁重仞之墙，披露堂室之奥，庻博物君子时逈思焉。
题辞
始读周髀，輙骇其艰怪，及再一寻讨，不过乘方圆参两以生勾股，遂至于算数所不可及，葢亦因天地自然之数耳。故其书称荣方学于陈子，至毕思骛神，卒无所用其智，乃知谓天葢高，固可坐而定者不诬也。然周髀率以表影一寸度为千里，按李淳风所引宋元嘉十九年测影干交州，夏至日影在表南三寸二分，共得一尺八寸二分，洛去交一万一千里，是不及六百里一寸也。观此则日径千二百五十里，去地八万里之说，又有不可尽据者。故蔡邕谓周髀术数具存，验天多所违失。又云周髀者即葢天之说也。是以王任仲据葢天之说以驳浑仪，为桓君山所屈，则周髀之术可睹矣。又淳风别引宋书历志二十四表影，与今宋书相较，则互有不同。近刻宋书为友人姚叔祥所校，称善本，因举此叚问之，
《叔祥》云：于时政以不得周髀，故贻足下今日之问耳。并识于此，以竢刋定。绣水沉士龙题。周髀以周人志之，乃称周髀。而虞喜则谓天之体转四方，地体卑不动，天周其上，故云周。其解周字，又一义也。然周髀之说，夺于浑天。如杨子云八难，卒无有能破之者。惟梁武帝于长春殿讲义，别儗天体，全同周髀，以排浑天之论。其后遂不复显。凡以世乏善算，遂令眞秘湮屈。余读魏书，有□人成公兴，佣赁宼谦之家，为其开舍南辣田。谦之坐树下算，兴时来看。后谦之算七曜，有所不了，惘然自失。
《兴》曰：先生何为不怿？
《谦之》曰：我学算累年，而近算周髀不合，以此自愧。且非汝所知，何劳问也？
《兴》曰：先生试随兴语布之。俄然便决。谦之叹伏不测，请师事之。兴后入嵩山石室，尸解。乃知周髀非仙眞有道，算难遽合。彼桓郑蔡陆者恐未易以声附子云也。武原胡震亨题。
卷上
昔者周公问于《商高》曰：窃闻乎大夫善数也。
唐《寅》曰：经文也。周公姓姬名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冡宰，德则至高，尚自卑巳以自牧，下学而上逹，况其凡乎？
唐《寅》曰：此赵注也。请问古者包牺立周天历度。包牺，三皇之一，始画八卦，以商高善数，能通乎微妙，逹乎无方，无大不综，无幽不显，闻包牺立周天历度运章蔀之法。
《易》曰：古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。此之谓也。夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度。邈乎悬广，无阶可升。荡乎遐远，无度可量。请问数从安出？心昧其机，请问其目。
《商高》曰：数之法，出于圆方。圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股。共结一角邪适弦，五政圆方邪径相通之率。
故曰：数之法出于圆方。圆方者天地之形，隂阳之数。然则周公之所问天地也。是以商高陈圆方之形以见其象，因竒耦之数以制其法。所谓言约㫖远，微妙幽通矣。圆出于方，方出于矩。圆䂓之数，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，广长也。矩出于九九八十一。推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者乘除之原也。故折矩。故者申事之辞也。将为勾股之率，故曰折矩也。以为勾广三。广圆之周横者谓之广勾，亦广广短也。股修四应方之匝，从者谓之修，股亦修。修，长也。径隅五自然相应之率。径，直隅角也，亦谓之弦。旣方之外，半其一矩。勾股之法，先知二数，然后推一。见勾股，然后求弦。先各自乘成其实，实成□化，外乃变通，故曰旣方其外。或并勾股之实，以求弦实之。中，乃求勾股之分。并实不正等，更相取与，互有所得，故曰半其一矩。其术：勾股各自乘，三三如九，四四一十六，并为弦自乘之实二十五。减勾于弦，为股之实一十六。减股于弦，为勾之实九环而共盘，得成三四五。盘，读如盘桓之盘，言取而并减之。积环，屈而共盘之谓。开方除之其一面，故曰得成三四。五也。两矩共长二十有五，是谓积矩。两矩者勾股各自乘之实。共长者并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。故禹之所以治天下者此数之所生也。禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之□，除滔天之灾，释昏蛰之厄，使东注于海而无浸溺，乃勾股之所由生也。
勾股方圆图注
《赵君卿》曰：勾股各自乘并之为弦实，开方除之即弦也。桉弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。以差实减弦实，半其馀，以差为从法。开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成弦实。或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里。减矩勾之实于弦实，开其馀即股。倍股在两边为从法。开矩勾之角，即股弦差。加股为弦。以差除勾实，得股弦并。以并除勾实，亦得股弦差。令并自乘与勾实为实，倍并为法，所得亦弦。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩，以勾股差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里。减矩股之实于弦实，开其馀即勾。倍勾在两边为从法。开矩股之角，即勾弦差。加勾为弦。以差除股实，得勾弦并。以并除股实，得勾弦差。令并自乘，与股实为实。倍并为法，所得亦弦股实。减并自乘，如法为勾。两差相乘，倍而开之，所得以股弦差增之，为勾。以勾弦差增之，为股。两差増之，为弦。倍弦实，列勾股差实。见弦实者以图考之，倍弦实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其馀，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍弦实，乃减之，开其馀，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之，为勾。加差于并而半之，为股。其倍弦为广袤，合令勾股见者自乘，为其实。四实以减之，开其馀，所得为差。以差减合，半其馀，为广。减广于弦，即所求也。观其迭相䂓矩，共为反覆，互与通分，各有所得。然则统叙羣伦，弘纪衆理，贯幽入微，鈎深致逺。
故曰：其裁制万物，唯所为之也。
释圆方勾股注
按君卿注曰：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
《臣鸾》曰：假令勾三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，开方除之得五，为弦也。
《寅》曰：五五二十五，弦实四面之一也。《注》云：按弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实寅，曰勾股相乘，其数一十二也。
《臣鸾》曰：以勾弦差二倍之为四，自乘得一十六，为左图中黄实也。
《寅》曰：甄氏止注以勾股十二字之义。臣淳风等谨按《注》云：以勾股之差自乘为中黄实。鸾云：倍勾弦差自乘者苟求异端，虽合其数，于率不通。
《寅》曰：勾股之差，其数一也。自乘得一，一如一《注》云：加差实，亦成弦实。
《臣鸾》曰：加差实一，并外矩青八得九，并中黄十六得二十五，亦成弦实也。臣淳风等谨按《注》云：加差实一，亦成弦实。
《鸾》曰：加差实并外矩及中黄者虽合其数，于率不通。
《寅》曰：加差实之一，于前文所言朱实四之上，朱实之四为二十四，加一为弦实二十五也。《注》云：以差实减弦实，半其馀，以差为从法，开方除之，复得勾矣。
《臣鸾》曰：以差实九减弦实二十五，馀十六，半之得八，以差一加之得九，开之得勾三也。臣淳风等谨按注宜云：以差实一减弦实二十五，馀二十四，半之为十二。以差一从开方除之，得勾。三鸾云：以差实九减弦实者虽合其数，于率不通。
《顾应祥》曰：以差实一减弦实二十五。《注》云：加差于勾，即股。
《臣鸾》曰：加差一于勾三，得股四也。《注》云：凡并勾股之实，即成弦实。
《臣鸾》曰：勾实九，股实十六，并之得二十五也。《注》云：或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤。
《臣鸾》曰：以股弦差一为广，股四并弦五得九为袤，左图外青也。《注》云：而股实方其里。
《臣鸾》曰：为左图中黄十六。《注》云：减矩勾之实，于弦实开，其馀即股。
《臣鸾》曰：减矩勾之实九，于弦实二十五，馀一十六开之，得四股也。《注》云：倍股在两边为从法，开矩勾之角，即股弦差。
《臣鸾》曰：倍股四得八，在图两□，以为从法。开矩勾之，角九得一也。《注》云：加股为弦。
《臣鸾》曰：加差一于股四，则弦五也。《注》云：以差除勾实，得股弦并。
《臣鸾》曰：以差一除勾，实九得九，即股四弦五并为九也。《注》云：以并除勾实，亦得股弦差。
《臣鸾》曰：以九除勾实九，得股弦差一。《注》云：令并自乘，与勾实为实。
《臣鸾》曰：令并股弦得九，自乘为八十一，又与勾实九加之，得九十为实。《注》云：倍并为法。
《臣鸾》曰：倍股弦，并九得十八者为法。《注》云：所得亦弦。
《臣鸾》曰：除之得五为弦。
《寅》曰：以法十八，除实九十。《注》云：勾实减并自乘，如法为股。
《臣鸾》曰：以勾实九减，并自乘八十一，馀七十二，以法十八除之，得四，为股也。《注》云：股实之矩，以勾弦差为广，勾弦并为袤。
《臣鸾》曰：股实之矩，以勾弦差二为广，勾弦并八为袤。《注》云：而勾实方其里，减矩股之实，于弦实开，其馀即勾。
《臣鸾》曰：勾实有九方，在右图里。以减矩股之实十六，于弦实二十五馀九开之，得三勾也。《注》云：陪勾在两邉。
《臣鸾》曰：各三也。
《寅》曰：倍之得六。《注》云：为从法，开矩股之角，即勾弦差，加勾为弦。
《臣鸾》曰：加差二于勾三，则弦五也。《注》云：以差除股实，得勾弦并。
《臣鸾》曰：以差二除股实，十六得八，勾三，弦五，并为八也。《注》云：以并除股实，亦得勾弦差。
《臣鸾》曰：以并除股实十六，得勾弦差二。《注》云：令并自乘，与股实为实。
《臣鸾》曰：令并八自乘，得六十四，与股实十六加之，得八十为实。《注》云：倍并为法。
《臣鸾》曰：倍勾弦并八，得十六为法。《注》云：所得亦弦。
《臣鸾》曰：除之得弦五也。《注》云：股实减并自乘，如法为勾。
《臣鸾》曰：以股实十六减，并自乘六十四，馀四十八，以法十六除之，得三，为勾也。《注》云：两差相乘，倍而开之，所得以股弦差增之为勾。
《臣鸾》曰：以股弦差一乘勾弦差二，得二，倍之为四，开之得二，以股弦差一増之，得三勾也。《注》云：以勾弦差增之为股。
《臣鸾》曰：以弦差二增之，得四股也。《注》云：两差增之为弦。
《臣鸾》曰：以股弦差一，勾弦差二，増之得五弦也。《注》云：倍弦实列勾股差实见弦实者以图考之，倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多即勾股差实。
《臣鸾》曰：倍弦实二十五得五十，满外大方七七四十九，而多黄实。黄实之多，即勾股差实也。《注》云：以差实减之，开其馀，得外大方。大方之面，即勾股并。
《臣鸾》曰：以差实一减五十，馀四十九开之，卽大方之面七也，亦是勾股并也。《注》云：令并自乘，倍弦实，乃减之，开其馀，得中黄方。黄方之面，卽勾股差。
《臣鸾》曰：并七自乘，得四十九，倍弦实二十五，得五十以减之，馀卽中黄方差实一也，故开之卽勾股差一也。《注》云：以差减并而半之为勾。
《臣鸾》曰：以差一减并七，馀六半之，得三勾也。《注》云：加差于并而半之，为股。
《臣鸾》曰：以差一加并七，得八而半之，得四股也。《注》云：其倍弦为广袤合。
《臣鸾》曰：倍弦二十五为五十，为广袤合。臣淳风等谨按列广袤术，宜云倍弦五得十，为广袤合。今鸾云倍弦二十五者错也。寅曰勾广一袤九，股广二袤八。《注》云：而令勾股见者自乘为其实，四实以减之，开其馀，所得为差。
《臣鸾》曰：令自乘者以七七自乘，得四十九，四实大方。勾股之中有四方，一方之中有方十二，四实有四十八，减上四十九馀一也。开之得一，卽勾股差一。臣淳风等谨按注意，令自乘者十自乘得一百。四实者大方广袤之中有四方。若据勾实而言，一方之中有实九，四实有三十六，减上一百馀六十四，开之得八，卽广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之，一方之中有实十六，四实有六十四，减上一百馀三十六，开之得六，卽广袤差。此是勾股差减勾弦并馀数也。
《鸾》云：令自乘者以七七自乘得四十九。四实者大方勾股之中有四方，一方之中有方十二。四实者四十八减上四十九馀一也。开之得一，卽勾股差。一者错也。
《寅》曰：大方之中有四弦实，故四其勾实得三十六，减之馀六十四，开其馀得八，为勾之广袤差。四其股实得六十四，减之馀三十六，开得六，为股之广袤差。所谓广袤差者勾广一而袤九，股广二而袤入，广袤相减之馀也。《注》云：以差减合半，其馀为广。
《臣鸾》曰：以差一减，合七馀六，半之得三，广也。臣淳风等谨按：注意以差八六各减合十馀二四，半之得一二。一卽股弦差，二卽勾弦差。以差减弦，卽各袤广也。鸾云：以差一减合七馀六，半之得三广者错也。
《寅》曰：以勾之广袤差八减广袤，合十馀二，半之为勾之广。以股袤差六减广袤，合十馀四，半之为股之广。二注皆未莹。《注》云：减广于弦，卽所求也。
《臣鸾》曰：以广三减弦五，卽所求差二也。臣淳风等谨按：注意以广一二各减弦五，卽所求股四勾三也。鸾云以广三减弦五，卽所求差二者此错也。
《寅》曰：甄鸾述说终此。
《周公》曰：大哉言数！
唐《寅》曰：此经文也。心逹数术之意，故发大哉之数。
唐《寅》曰：此赵注也。请问用矩之道。谓用表之宜，测望之法。商高日平，矩以正绳。以求绳之正，定平悬之体。将欲愼毫厘之差，防千里之失。偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。言施用无方，曲从其事，术在九章。环矩以为圆，合矩以为方。旣以追寻情理，又可造制圆方。言矩之于物，无所不至。方属地，圆属天，天圆地方。物有圆方，数有竒耦。天动为圆，其数竒。地静为方，其数耦。此配隂阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？
又曰：北极之下，高人所居，六万里滂沲四隤而下，天之中央亦高，四旁六万里是。为形状同归而不殊涂，隆高齐耽而易以陈。
故曰：天似葢笠，地法覆盘。方数为典，以方出圆。夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变，故当制法而理之。理之法者半周半径相乘，则得方矣。又可周径相乘四而一，又可径自乘三之四而一，又可周自乘十二而一，故圆出于方，典实也。笠以写天笠亦如葢，其形正圆，戴之所以象天。写犹象也，言笠之体象天之形。
《诗》云：何蓑何笠。此之义也。天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。旣象其形，又法其位，言相方类，不亦似乎？是故知地者智，知天者圣。言天之高大，地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎？智出于勾。勾，亦影也。察勾之损益，加物之高远，故曰智出于勾。勾出于矩。矩谓之表，表不移亦为勾，为勾将正，故曰勾出于矩焉。夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。言包含几微，转通旋环也。
《周公》曰：善哉！善哉，言明晓之意，所谓问一事而万事逹。昔者荣方，问于陈子。荣方陈子是周公之后人，非周髀之本文。然此二人共相解释，后之学者谓之章句，因从其类，列于事下，又欲尊而远之，故云昔者时世官号未之前闻。曰：今者窃闻夫子之道，荣方问：陈子能述商高之㫖，明周公之道？知日之高大。日去地与圆径之术光之所照。日旁照之所及也。一日所行日行，天之度也。远近之数冬至夏至，去人之远近也。人所望见人目之所极也。四极之穷日光之所远也。列星之宿二十八宿之度也。天地之广袤袤，长也。东西南北谓之广长。夫子之道，皆能知之，其信有之乎？而明察之，故不昧不疑。
《陈子》曰：然。言可知也。
《荣方》曰：方虽不省，愿夫子幸而说之。欲以不省之情，而观〈大雅〉之法。今若方者可教此道邪？不能自料，访之贤者。
《陈子》曰：然。言可教也。此皆算术之所及。言周髀之法，出于算术之妙也。子之于算，足以知此矣。若诚累思之，累，重也。言若诚能重累思之，则逹至微之理。于是荣方归而思之，数日不能得。虽濳心驰思，而才单智竭。复见《陈子》曰：方思之不能得，敢请问之。
《陈子》曰：思之未熟。熟，犹善也。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。定高远者立两表，望悬邈者施累矩。言未能通类，求勾股之意。是智有所不及，而神有所穷。言不能通类，是情智有所不及，而神思有所穷滞。夫道术言约而用博者智类之明。夫道术，圣人之所以极深而研几。唯深也，故能通天下之志。唯几也，故能成天下之务。是以其言约，其㫖远，故曰智类之明也。问：一类而万事逹者谓之知道。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣，故谓之知道也。今子所学欲知天地之数，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。算术所包尚以为，难是子智类单尽。夫道术所以难通者旣学矣，患其不博。不能广博旣博矣，患其不习。不能究习旣习矣，患其不能知。不能知类故同术相学。术教同者则当学通类之意。同事相观事类同者观其㫖趣之类。此列士之愚智。列，犹别也。言视其术，鉴其学，则愚智者别矣，贤不肖之所分。贤者逹于事物之理，不肖者暗于照察之情，至于役神驰思，聦明殊别矣。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。学其伦类，观其指归，唯贤智精习者能之也。夫学同业而不能入神者此不肖无智而业不能精习。俱学道术明不察，不能以类合类而长之，此心游目荡，义不入神也。是故算不能精习。吾岂以道隐子哉，固复熟思之。凡教之道，不愤不啓，不悱不发。愤而悱之，然后啓发。旣不精思，又不学习，故言吾无隐也。尔固复熟思之，举一隅使及之以三也。荣方复归，思之数日，不能得。
复见《陈子》曰：方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所穷，知不能得，愿终请说之。自知不敏，避席而请说之。
《陈子》曰：复坐，吾语汝。于是荣方复坐而请，
《陈子》说之曰：夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿测影。
《臣鸾》曰：南戴日下立八尺表，表影千里而差一寸，是则天上一寸，地下千里。今夏至影有一尺六寸，故其万六千里。冬至影一丈三尺五寸，则知其十三万五千里。此一者天道之数。言天道数一，悉以如此。周髀长八尺，夏至之日，晷一尺六寸。晷，影也。此数望之，从周城之南千里也。而周官测影，尺有六寸，盖出周城南千里也。
《记》云：神州之土，方五千里。虽差一寸，不出畿地之分。先王知之，实故建王国。髀者股也。正晷者勾也。以髀为股，以影为勾，股定然后可以度日之高远。正晷者日中之时节也。正南千里，勾一尺五寸。正北千里，勾一尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸。将求日之高远，故先见其表影之率。日益表。南晷：日益长。候：勾六尺。候其影使长六尺者欲令勾股相应，勾三股四弦五勾六股八弦十。卽取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日。以径寸之空，视日之影，髀长则大，矩短则小，正满八尺也。捕，犹索也。掩，犹覆也。而日应空之孔。掩若重䂓。更言八尺者举其定也。
又曰：近则大，远则小，以影六尺为正。由此观之，率八十寸而得径一寸。以此为日髀之率。故以勾为首，以髀为股。首犹始也，股犹末也，勾能制物之率，股能制勾之正，欲以为緫见之数，立精理之本，明可以周万事，智可以逹无方，所谓智出于勾，勾出于矩也。从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。高八万里，相去十万里邪？至日，日高六万里，表端日底。
《臣鸾》曰：求从髀至日下六万里者先置南表晷六尺，上十之为六十寸，以两表相去二千里乘，得十二万里为实，以影差二寸为法除之，得日底地去表六万里。求从髀至日八万里者先置表高八尺，上十之为八十寸，以两表相去二千里乘之，得十六万为实，以影差二寸为法除之，得从表端上至日八万里也。若求邪至日者以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。旁。此古邪字。
求其数之《术》曰：以表南至日下六万里为勾，以日高八万里为股，为之求弦。勾股各自乘，并而开方除之，即邪至日之所也。
《臣鸾》曰：求从髀邪至日所法：先置南至日底六万里为勾，重张自乘得三十六亿为勾实。更置日高八万里为股，重张自乘得六十四亿为股实。并勾股实得一百亿为弦实。开方除之，得从王城至日十万里。今有十万里，问径几何？曰：一千二百五十里。八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实，八十寸为法，即得。以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。法当以空径为勾率，竹长为股率，日去人为大股，大股之勾即日径也。其术以勾率乘大股，股率而一，此以八十里为法，十万里为实，实如法而一，即得日径。故曰日晷径千二百五十里。
《臣鸾》曰：求以率八十里得径一里，十万里得径千二百五十里法：先置竹孔径一寸为十里为勾，更置邪去曰十万里为股，以勾十里乘股，十万里得一亿为实，更置日去地八万里为法，除实得日晷径千二百五十里，故云日晷径也。
臣淳风等谨按：夏至王城望日，立两表，相去二千里。表高八尺，影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实，实如法得万五千里，为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实，实如法得八万里，为表上去日里。仍以表寸为日高，影寸为日下。待日渐高，候日影六尺用之为勾，以表为股，为之求弦。得十万里为邪表数目，取管圆孔，径一寸，长八尺，望日满筒以为率。长八十寸为一邪，去日十万里，日径即千二百五十里，以理推之。
《法》云：天之处心，高于外衡六万里者此乃语与术违。勾六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方，自然之数。盖依绳水之定，施之于表矩。然则天无别体，用日以为高下。术旣随乎而迁，高下从何而出？语术相违，是为大失。又按：二表下地，依水平法定其高下。若北表地高，则以为勾，以间为弦。置其高数，其影乘之，其表除之，所得益股为定间。若北表下者亦置所下，以法乘除，所得以减股为定间。又以高下之数与间相约，为地高远之率。求远者影乘定间，差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者弦乘定间，差法而一，所得加弦日邪去地。此三等至，皆以日为正。求日下地高下者置戴日之远近，地高下率乘之，如间率而一，所得为日下地高下。形□隆杀与表间同，可依此率。若形□不等，非代所知率。日径求日大小者径率乘间，如法而一，得日径。此径当即得，不待影长六尺。凡度日者先须定二矩。水平者影南北立勾，齐高四尺，相去一丈，以二弦候牵于勾上，并率二，则拟为候影。勾上立表，弦下望日，前一则上畔，后一则下畔，引则就影，合与表日参直。二至前后三四日间，影不移处即是。当以候表，亦望人取一影，亦可日径影端表头为则。然地有高下，表望不同，后六术乃穷其实。第一，后高前下术。高为勾，表间为弦，后复影为所求率，表为有所率，以勾为所有数，所得益股为定间。第二，后下术。以其所下为勾，表间为弦，置其所下，以影乘表，除所得减股，馀为定间。第三，邪下术。依其北高之率，高其勾影，合与地□隆杀相似，馀同平法。假令髀邪下而南，其邪亦同，不须别望，但弦短与勾股不得相应，其南里数亦随地□不得校乎平则促。若用此术，但得南望。若北望者即用勾照南下之术，当北高之地。第四，邪上术。依其后下之率，下其勾影，此谓□望北极以为高逺者望去取差亦同南望。此术弦长，亦与勾股不得相应，唯得北望，不得南望。若南望者即用勾影北高之术。第五，平术不论高下。周髀度日，用此平术。故东西南北，四望皆通。远近一差，不须别术。第六，术者是外衡。其径云四十七万六千里，半之得二十三万八千里者是外衡去天心之处。心高于外衡六万里，为率南行二十三万八千里。下校六万里约之，得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九歩，差下三十歩。□孙守真按：维基文库本作则，未详孰据。三十歩大强，差下十歩。以此为准，则不合有平地。地旣平，而用术尤乖理验。且自古论晷影差变，毎有不同。今略其梗槩，取其推歩之要。
《尚书考灵曜》云：日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而减一寸。
张衡《灵宪》云：悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。
郑玄《注周礼》云：凡日影于地，千里而差一寸。王蕃姜岌因此为说。按前诸说，是数并同。其言更出书，非直有此。以事考量，恐非实矣。谨按宋元嘉十九年，歳在壬午，遣使徃交州度日影。夏至之日，影在表南三寸二分。太康〈地理志〉：交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城，洛阳在其东南。较而言之，令阳城去交趾近于洛阳，去交趾一百八十里，则交趾去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况复人路迂□，羊肠曲折，方于鸟道，所较弥多，以事验之，又未盈五百里而差一寸眀矣。千里之言，固非实也。
《何承天》又云：诏以土圭测影，考校二至□三日有馀，从来积歳，及交州所上，验其增减，亦相符合。此则影差之验也。
《周礼大司徒职》曰：夏至之影，尺有五寸。马融以为洛阳，郑玄以为阳城。尚书考灵曜：日永影一尺五寸。郑玄以为阳城日短十三尺。易纬通卦验：夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。刘向《洪范》传：夏至影一尺五寸八分。是时汉都长安，而向不言测影处所，若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。
向又云：春秋分长七尺三寸六分。此即緫是虗妄。后汉历志：夏至影一尺五寸。后汉洛阳冬至一丈三尺。自梁天监巳前，并同此数。魏景初，夏至影一尺五寸。魏初都许昌，与頴川相近，后都洛阳，又在地中之数。但易纬因汉历旧影，似不别影之冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康，在江表验影之数，遥取阳城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历，夏至影一尺五寸。宋都秣陵，遥取影同前冬至一丈三尺。
后魏信都芳《注周髀四术》云：按永平元年戊子，是梁天监之七年也。见洛阳测影，又见公孙崇集诸朝士共观秘书影。同是夏至之日，以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分。虽无六尺，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞邝以九尺表于江左建康测夏至日中影，长一尺三寸二分。以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分，八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年，冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年，夏至影一尺四寸八分。冬至长安测，夏至洛阳测，及王邵隋灵感志冬至一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年，夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐正观二年己五，五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影，或长短齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸为近定实矣。以周官推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸亦为近矣。按梁武帝都金陵，云洛阳南北大较千里，以尺表令其有九尺影，则大同十年江左八尺表，夏至中影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表，千里而差一寸弱矣。此推验卽是夏至影差，降升不同，南北逺近，数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实。
日高图注
赵君卿曰：黄甲与黄乙，其实正等。以表高乘两表相去，为黄甲之实。以影差为黄甲之广而一，所得则变得黄甲之袤，上与日齐。按图当加表高，今言八万里者从表以上复加之。青丙与青已，其实亦等。黄甲与青丙相连，黄乙与青已相连，其实亦等。皆以影差为广。
《臣鸾》曰：求日高法：先置表高八尺为八万里为袤，以相两表相去二千里为广，乘袤八万里，得一亿六千万里，为黄甲之实。以影差二寸为二千里为法除之，得黄乙之袤八万里，卽上与日齐。此言王城去天名曰甲，日底地上至日名曰乙，上天名青丙，下地名青戊，据影六尺。王城上天南至日六万里，王城南至日底地亦六万里，是上下等数。日夏至南万六千里者立表八尺于王城，影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地万六千里也。
《法》曰：周髀长八尺，勾之，损益寸千里。勾，谓影也。言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。
故曰：极者天广袤也。言极之远近有定，则天广长可知。今立表高八尺以望极，其勾一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下，谓冬至日加卯酉之时，若春秋分之夜半，极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。
《荣方》曰：周髀者何？《陈子》曰：古时天子治周。古时天子谓周成王，时以治周居王城，
故曰：昔先王之经邑，奄观九隩，靡地不营，土圭测影，不缩不盈，当风雨之所交，然后可以建王城。此之谓也。此数望之从周，故曰周髀。言周都河南，为四方之中，故以为望主也。髀者表也。用其行事，故曰髀。由此捕望，故曰表。影为勾，故曰勾股也。日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中，十一万九千里。诸言极者斥天之中极，去周十万三千里。亦谓极与天中齐时，更加南万六千里是也。北至其夜半亦然。日极在极北，正等也。凡径二十三万八千里。并南北之数也。此夏至日道之径也。其径者圆中之直者也。其周七十一万四千里。周，匝也。谓天戴日行，其数以三乘径。
《臣鸾》曰：求夏至日道径法：列夏至日去天中心十一万九千里，夏至夜一日亦去天中心十一万九千里，并之得夏至日道径二十三万八千里。三乘径，得周七十一万四千里也。从夏至之日中，至冬至之日中，十一万九千里。冬至日中，去周十三万五千里。除夏至日中，去周一万六千里是也。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中，二十三万八千里。从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里，此冬至日道径也。其周百四十二万八千里，从春秋分之日中，北至极下，十七万八千五百里。春秋之日影七尺五寸五分，加望极之勾一丈三寸。
《臣鸾》曰：求冬至日道径法：列夏至去冬至日中十一万九千里，从夏至日道北径亦十一万九千里，并之，得冬至日中北极下二十三万八千里。从极至夜半亦二十三万八千里，并之，得冬至道径四十七万六千里。以三乘径，卽冬至日道周一百四十二万八千里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里，故日月之道常縁宿，日道亦与宿正。内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或里，五月二十三分，月之二十一道一交，谓之合朔交会，及月蚀相去之数，故曰縁宿也。日行黄道，以宿为正，故曰宿正于中，衡之数与黄道等。
《臣鸾》曰：求春秋分日道法：列春秋分日中北至极下十七万八千五百里，从北极北至其夜半亦然，并之，得春秋分日道径三十五万七千里。以三乘径，卽日道周一百七万一千里。求黄道径法：列从北极南至夏至日中一十一万九千里，以从极北去冬至夜半二十三万八千里并之，得黄道三十五万七千里。从极南至冬至日，北至夏至日夜半，亦黄道径也。以三乘径周，得一百七万一千里也。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。此皆黄道之数，与中衡等。春分之日夜分，以至秋分之日夜分，极下常有日光。春秋分者昼夜等。春分至秋分，日内近极，故日光照及也。秋分之日夜分，以至春分之日夜分，极下常无日光。秋分至春分，日外远极，故日光照不及也。故春秋分之日，夜分之时，日所照适，至极隂阳之分等也。冬至夏至者日道□敛之所生也。至昼夜长短之所极。发，犹往也。敛，犹还也。极，终也。春秋分者隂阳之修，昼夜之象。修，长也。言隂阳长短之等。昼者阳，夜者隂。以明暗之差，为隂阳之象。春分以至秋分，昼之象。北极下见日光也。日永主物生，故象昼也。秋分至春分，夜之象。北极下不见日光也，日短主物死，故象夜也。故春秋分之日中，光之所照，北极下夜半，日光之所照，亦南至极，此日夜分之时也。
故曰：日照四旁，各十六万七千里。至极者谓璇玑之际为阳絶隂障，以日之时而日光有所不逮，故知日旁照十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。人望所见远近，宜如日光所照。日近我一十六万七千里之内及我，我自见日，故为日出。日远我十六万七千里之外，日则不见我，我亦不见日，故为日入。是为日与目见于十六万七千里之中，故曰逺近宜如日光之所照也。从周所望见，北过极六万四千里。自此以下，诸言减者皆置日光之所照，若人目之所见，十六万七千里以除之。此除极至周十万三千里。
《臣鸾》曰：求从周所望见北过极六万四千里法：列人目所极十六万七千里，以王城周去极十万三千里减之，馀六万四千里，卽人望过极之数也。南过冬至之日，三万二千里。除冬至日中，去周十三万五千里。
《臣鸾》曰：求冬至日中三万二千里法：列人目所极十六万七千里，以冬至日中去王城十三万五千里减之，馀卽过冬至日中三万二千里也。夏至之日，中光南过。冬至之日，中光四万八千里。除冬至之日中，相去十一万九千里。
《臣鸾》曰：求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里法：列日高照十六万七千里，以冬夏至日中相去一十一万九千里减之，馀卽南过冬至之日中光四万八千里，南过人所望见一万六千里。夏至日中，去周万六千里。
《臣鸾》曰：求夏至日中光南过人所望见万六千里法：列王城去夏至日中光南过人所望见万六千里，加日光所及十六万七千里，得十八万三千里。以人目所极十六万七千里减之，馀卽南过人目所望见一万六千里也。北过周十五万一千里。除周夏至之日中，一万六千里。
《臣鸾》曰：求夏至日中光北过周十五万一千里法：列日光所及十六万七千里，以王城去夏至日中一万六千里减之，馀卽北过周十五万一千里。北过极四万八千里。除极去夏至之日，十一万九千里。
《臣鸾》曰：求夏至日中光北过极四万八千里法：列日光所及十六万七千里，以北极去夏至夜半十一万九千里减之，馀卽北过极四万八千里也。冬至之夜半，日光南不至。人所见，七千里。倍日光所照里数，以减冬至日道，径四十七万六千里。又除冬至日中，去周十三万五千里。
《臣鸾》曰：求冬至夜半日光南不至人目所见七千里法：列日光十六万七千里，倍之，得三十三万四千里。以减冬至日道径四十七万六千里，馀十四万二千里。复以冬至日中去周十三万五千里减之，馀即不至人目所见七千里。不至，极下七万一千里。从极至夜半，除所照十六万七千里。
《臣鸾》曰：求冬至日光不至极下七万一千里法：列冬至夜半去极二十三万八千里，以日光一十六万七千里减之，馀卽不至极下七万一千里。夏至之日中与夜半，日光九万六千里，过极相接。倍日光所照，以夏至日道径减之，馀卽相接。之数
《臣鸾》曰：求夏至日中日光与夜半相接九万六千里法：列倍日光所照十六万七千里，得径三十三万四千里。以夏至日过径二十三万八千里减之，馀卽日光相接九万六千里也。冬至之日中与夜半，日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。倍日光所照，以减冬至日道径，馀卽不相及之数。半之，卽各不至极下。
《臣鸾》曰：求冬至日光与夜半，日不及十四万二千里，不至极下七万一千里法：列冬至日道径四十七万六千里，以倍日光所照三十三万四千里减之，馀卽日光不相及十四万二千里。半之，卽不至极下七万一千里也。夏至之日，正东西望，直周东西，日下至周五万九千五百九十八里半。求之术：以夏至日道径二十三万八千里为弦，倍极去周十万三千里，得二十万六千里为股，为之求勾。以股自乘，减弦自乘，其馀开方除之，得勾一十一万九千一百九十七里有竒。半之，各得周半数。
《臣鸾》曰：求夏至日正东西去周法：列夏至道径二十三万八千里为弦，自相乘，得五百六十六亿四千四百万为弦实。更置极去周十万三千里，倍之为二十万六千里为股，重张自相乘，得四百二十四亿三千六百万为股实。以减弦实，馀一百四十二亿八百万卽勾实。以开方除之，得正东西去周一十一万九千一百九十七里二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一。半之，卽周东西各五万九千五百九十八里半。
《经》曰：竒者分也。若求分者倍分母，得四十七万六千七百九十，卽一方得五万九千五百九十八里半四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一。本经无所馀算之次，因而演之也。冬至之日，正东西方不见日。正东西方者周之卯酉，日在十六万七千里之外，不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。求之术：以冬至日道径四十七万六千里为弦，倍极之，去周十万三千里，得二十万六十里为勾，为之求股。勾自乘，减弦之自乘，其馀开方除之，得四十二万九千一百一十五里有竒。半之，各得东西数。
《臣鸾》曰：求冬至正东西方不见日法：列冬至日道径四十七万六千里为弦，重张相乘，得二千二百六十五亿七千六百万里为弦实。更列极去周十万三千里，倍之，得二十万六千里为勾，重张相乘，得四百二十四亿三千六百万，以减弦实，馀一千八百四十一亿四十万卽股实。开方除之，得周直东西四十二万九千一百一十五里八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五半，卽周一方，去日二十一万四千五百五十七里半。亦倍分母，得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五。凡此数者日道之发敛。凡此上周径之数者日道徃还之所至，昼夜长短之所极。冬至夏至，观律之数，听钟之音。观律数之生，听钟音之变，知寒暑之极，明代序之化也。冬至昼，夏至夜，冬至昼夜日道径，半之，得夏至昼夜日道径。法：置冬至日道径四十七万六千，半之，得夏至日中去夏至夜半二十三万八千里，以四极之里也。差数及日光所还观之。以差数之所及，日光所还，以此观之，则四极之穷也。四极径八十一万里。从极南至冬至，日中二十三万八千里，又日光所照十六万七千里，凡径四十万五千里，北至其夜半亦然，故日径八十一万里。八十一者阳数之终，日之所极。
《臣鸾》曰：求四极径八十一万里法：列冬至日中去极二十三万八千里，复加冬至日光所极十六万七千里，得四十万五千里，北至其夜半亦然，并南北卽是大径八十一万里。周二百四十三万里。三乘径卽周。
《臣鸾》曰：以三乘八十一万里，得周二百四十三万，自此以外，日所不及也。从周至南，日照处三十万二千里。半径除周，去极十万三千里。
《臣鸾》曰：求周南三十万二千里法：列半径四十万五千，以王城去极十万三千里减之，馀卽周南至日照处三十万二千里。周北至日照处五十万八千里。半径加周，去极十万三千里。
《臣鸾》曰：求周去冬至夜半日北极照处五十万八千里法：列半道径四十万五千里，加周夜半去极十万三千里，得冬至夜半北极照去周五十万八千里。东西各三十九万一千六百八十三里半。求之术：以径八十一万里为弦，倍去周十万三千里，得二十万六千里为勾，为之求股，得七十八万三千三百六十七里有竒。半之，各得东西之数。
《臣鸾》曰：求东西各三十九万一千六百八十三里半法：列径八十一万里，重张自乘，得六千五百六十一亿为弦实。更置倍周，去北极二十万六千里为勾，重张自乘，得四百二十四亿三千六百万，以减弦实，馀六千一百三十六亿六千四百万卽股实。以开方除之，得股七十八万三千三百六十七里一百五十六万六千七百三十五分里之十四万三千三百一十一。半之，卽得去周三十九万一千六百八十三里半。分母亦倍之，得三百一十三万三千四百七十分里之十四万三千三百一十一也。周在天中南十万三千里，故东西矩中径二万六千六百三十二里有竒。求矩中径二万六千六百三十二里有竒法：列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，馀卽矩中径之数。
《臣鸾》曰：求矩中径二万六千六百三十二里有竒，法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，馀二万六千六百三十三里，取一里破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一，馀一百四十二万三千四百二十四，卽径东西矩二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。周北五十万八千里，冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里，日光四极，当周东西各三十九万一千六百八十三里有竒。此方圆之法。此言求圆于方之法万物周事，而圆方用焉。大匠造制，而䂓矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者谓之圆方。圆中为方者谓之方圆也。
七衡图注
赵君卿曰：靑图画者天地合际，人目所远者也。天至高，地至卑，非合也。人目极观而天地合也。日入青图画内，谓之日出。出青图画外，谓之日入。青图画之内外，皆天也。北辰正居天中之央，人所谓东西南北者非有常处，各以日出之处为东，日中为南，日入为西，日没为北。北辰之下，六月见日，六月不见日。从春分至秋分，六月常见日。从秋分至春分，六月常不见日。见日为昼，不见日为夜。所谓一歳者卽北辰之下一昼一夜。黄图画者黄道也。二十八宿列焉，日月星辰□焉。使青图在上不动，贯其极而转之，卽交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一，夏至日道也。出第四，春秋分日道也。外第七，冬至日道也。皆随黄道。日冬至在牵牛，春分在娄，夏至在东井，秋分在角。冬至从南而北，夏至从北而南，终而复始也。凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。凡用缯方八尺一寸，今用缯方四尺五分，分为二千里。方为四极之图，尽七衡之意。
吕氏曰：凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。吕氏秦相吕不韦作吕氏春秋，此之义在有始第一篇，非周髀本文。
《尔雅》云：九夷八狄七戎六蛮，谓之四海。言东西南北之数者将以明车辙马迹之所至。
《河图括地象》云：而有君长之州九，阻中国之文德，及而不治。又云：八极之广，东西二亿二万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。
《淮南子》地形训云：禹使大章歩自东极至于西极，孺亥歩自北极至于南极，而数皆然。或其广濶将焉可歩矣，亦后学之徒未之或知也。夫言亿者十万曰亿也。凡为日月运行之圆周，春秋分，冬夏至，璇玑之运也。七衡周而六间，以当六月节。六月为百八十二日八分日之五。节六月者从冬至至夏至，日百八十二日八分日之五，为半岁。六月节者谓中气也，不尽其日也。此日周天，通四分一之，倍法四以除。之卽得也。
《臣鸾》曰：求七衡周而六间，以当六月节。六月为一百八十二日八分日之五，此为半岁也。列周天三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一为实，倍分母四为八，除实得半岁一百八十二日八分日之五也。故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。东井牵牛，为长短之限，内外之极也。衡复更终冬至。冬至日，从外衡还黄道，一周年复于故衡，终于冬至。
故曰：一岁三百六十五日四分日之一。一岁一内极，一外极。从冬至一内极及一外极，度终于星，月穷于次，是为一岁。三十日十六分日之七。月一外极，一内极，欲分一岁为十二月，一衡间当一月。此举中相去之日数。以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九，则过周天一日而与月合宿。论其入内外之极，六归粗通，未心得也。日光言内极，月光言外极。日阳从冬至起，月隂从夏至起，往来之始。
《易》曰：日徃则月来，月往则日来。此之谓也。此数置一百八十二日八分日之五，通分内子五，以六间乘分母以除之，得三十。以三约法，得十六。约馀，得七。
《臣鸾》曰：求三十日十六分日之七法：列半岁一百八十二日八分日之五，通分内子，得一千四百六十一为实。以六间乘分母八，得四十八，除实得三十日，不尽二十一。更置法实求等数，平于三，即以约法得十六，约馀得七，即是从中气相去三十日十六分日之七也。是故衡之间万九千八百三十三里三分里之一，卽为百歩。此数夏至冬至相去十一万九千里，以六间除之，得矣。法与馀分皆半之。
《臣鸾》曰：求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一法：置冬至夏至相去十一万九千里，以六间除之，卽得法与馀分，半之得也。欲知次衡径，倍而增内衡之径。倍一衡间数，以増内衡。二之，以增内衡径。二乘所倍一衡之间数，以増内衡径，卽得三衡径。次衡放此。次至皆如数。内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里，分为三百六十五度四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。通周天四分之一为法。又以四乘衡周为实。实如法得一百歩，不满法者十之。如法得十歩，不满法者十之。如法得一歩，不满者以法命之。至七衡皆如此。
《臣鸾》曰：求内衡度法，置夏至径二十三万八千里，以三乘之，得内外衡周七十一万四千里，以周天分母四乘内衡周，得二百八十五万六千里为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得一千九百五十四里，不尽一千二百六，卽而三之，为三千六百十八，以法除之，得二百歩，不尽六百九十六歩，上十之，如法而得四十歩，不尽一千一百一十六，复上十之，如法而一，得七歩，不尽九百三十三，卽是一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三。次二衡，径二十七万七千六百六十六里二百歩，周八十三万三千里，分里为度，度得二千二百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之千三百三十二。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数。不满者求歩数，不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第二衡法，列一衡间一万九千八百三十三里，少半里倍之，得三万九千六百六十六里，太半里増内衡径二十三万八千里，得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩，是三分里之二，又以三乘之，歩满三百成一里，得二衡周八十三万三千里，以周天分母四乘周，得三百三十三万二千为实，更置周天三百六十五度四分度之一，通分内子，得一千四百六十一为法，除之得二千二百八十里，不尽九百二十，以三百乘之，得二十七万六千，复以前法除之，得一百八十八歩，不尽一千三百三十二，卽是度得二千二百八十里一百八十八歩一千四百六十一分歩之一千三百三十二。次三衡，径三十一万七千三百三十三里一百歩，周九十五万二千里，分为度，度得二千六百六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七十。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数。不满法者求歩数，不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第三衡法：列倍一衡间，得三万九千六百六十六里三分里之二。增第二衡径二十七万七千里六百六十六里二百歩，卽三分里之二，得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩。以三乘径歩，歩满三百成里，得周九十五万二千里。又以分母四乘周，得三百八十万八千为实。以周天分一千四百六十一为法。以除实，得二千六百六里。不尽六百三十四，以三百乘之，以法除之，得一百三十歩。不尽二百七十，卽是度得二千六百六里一百三十歩一千四百六十一分歩之二百七十。次四衡，径三十五万七千里，周一百七万一千里，分为度，度得二千九百三十二里七十一歩千四百一十分歩之六百六十九。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数。不满法者求歩数，不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第四衡法，列倍一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩，歩满三百成里，得径三十五万七千里，以三乘之，得周一百七万一千里，以分母乘之，得四百二十八万四千里为实，以周天分一千四百六十一除之，得二千九百三十二里，不尽三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一歩，不尽六百六十九，卽是度得二千九百三十二里七十一歩一千四百六十一分歩之六百六十九。次五衡，径三十九万六千六百六十六里二百歩，周一百一十九万里，分为度，度得三千二百五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六十八。通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如。法，得里数。不满法者求歩数。不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第五衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第四衡径三十五万七千里，满三百成里，得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩，以三分乘径，得周一百一十九万里，又以分母四乘周，得四百七十六万为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得三千二百五十八里，不尽六十二，以三百乘之，以法除之，得十二歩，不尽一千六十八，卽是度得三千二百五十八里十二歩一千四百六十一分歩之一千六十八。次六衡，径四十三万六千三百三十三里一百歩，周一百三十万九千里，分为度，度得三千五百八十三里二百五十四歩千四百六十一分歩之六。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得一里。不满法者求歩，不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第六衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，以増第五衡径三十九万六千六百六十六里一百歩，又三乘径，得周一百三十万九千里，又以分母四乘周，得五百二十三万六千为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得三千五百八十三里，不尽一千二百三十七，以三百乘之，以法除之，得二百五十四歩，不尽六卽是度，得三千五百八十三里二百五十四歩一千四百六十一分歩之六。次七衡，径四十七万六千里，周一百四十二万八千里，分为度，得三千九百九里一百九十五歩千四百六十一分歩之四百五。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数。不满法者求歩数，不尽者命分。
《臣鸾》曰：求第七衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩，得第七衡径四十七万六十里，以三乘之，得周一百四十二万八千里，以分母四乘之，得五日七十一万二千为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得三千九百九里，不尽九百五十一，又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五歩，不尽四百五，卽是度得三千九百九里一百九十五歩一千四百六十一分歩之四百五。
其次曰冬至所，北照过北衡十六万七千里。冬至十一月，日在牵牛，径在北方。因其在北，故言照过北衡。为径八十一万里。倍所照，増七衡径。周二百四十三万里。三乘倍増七衡周分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七。过此而徃者未之或知。过八十一万里之外。或知者或疑其可知，或疑其难知，此言上圣不学而知之。上圣者智无不至，明无不见。
《考灵曜》曰：微式出冥，唯审其形。此之谓也。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸，冬至日晷长，夏至日晷短，日晷损益，寸差千里。故冬至夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里，分为度，度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七，此度之相去也。
《臣鸾》曰：求冬至日所北照十六万七千里，并南北日光得三十三万四千里，増冬至日道径四十七万六千里，得八十一万里，三之得周二百四十三万，以周天分母四乘之，得九百七十二万里为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得六千六百五十二里，不尽一千四百二十八，以三百乘之，得四十三万八千四百，复以法除之，得二百九十三歩，不尽三百二十七，卽是度得六千六百五十二里二百九十三歩一千四百六十一分歩之三百二十七。
其南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。《术》曰：置十一万九千里为实，以半歳一百八十二日八分日之五为法。半歳考，从外衡去内衡以为法，除相去之数，得一日所行也。而通之。通之者数不合齐，以法等得相通入，以八乘也。得九十五万二千为实。通十一万九千里。所得一千四百六十一为法，除之。通百八十二日八分日之五也。实如法得一里，不满法者三之，如法得百歩。一里三百歩，当以三百乘而言之。三之者不欲转法，便以一位为百实，故从一位命为百。不满法者十之，如法得十歩。上下用三百乘，故此十之，便以位为十实，故从一位命为十。不满法者十之，如法得一歩。复十之者但以一位为实，故从一位命为一。不满法者以法命之。位尽于一歩，故以法命其馀，分为残歩。
《臣鸾》曰：求南北游法：置冬至十一万九千里，以半岁日分母八乘之，得九十五万二千为实，通半歳一百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除得六百五十一里，不尽八百八十九，以三百乘之，得二十六万六千七百，复以法除之，得一百八十二歩，不尽七百九十八，卽得日南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。
卷下
凡日月运行四极之道，运，周也。极，至也，谓外衡也。日月周行四方，至外衡而还，故曰四极也。极下者其地高，人所居六万里，滂沲四隤而下游北极。从外衡主极下，乃高六万里，而言人所居，盖复尽外衡滂四隤而下如覆盘也。天之中央亦高，四旁六万里。四旁，犹四极也，随地穹窿而高如盖笠。故日光外所照，径八十一万里，周二百四十三万里。日至外衡而还出，其光十六万七千里，故日照。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者天地四极四和。四和者谓之极。子午卯酉得东西南北之中，天地之所合，四时之所交，风雨之所会，隂阳之所和。然则百物阜安，草木蕃庻，故曰四和。昼夜易处。南方为昼，北方为夜。加四时相及南方日中，北方夜半。然其隂阳所终，冬至所极，皆若一也。隂阳之数齐，冬夏之节同，寒暑之气均，长短之晷等。周□无差，运变不二。天象葢笠，地法覆盘。见乃谓之象，形乃谓之法。在上故准葢，在下故拟盘。象法义同，葢盘形等。互文异器，以别尊卑。仰象俯法，名号殊矣。天离地，八万里。然其隆高相从，其相去八万里。冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里。天地隆高，高列外衡六万里。冬至之日，虽在外衡，其相望为平地，直常出地北极下。地上二万里，言日月不相障蔽，故能扬光于昼，纳明于夜。故日兆月。日者阳之精，譬犹火光，月者隂之精，譬犹水光，月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽，当日即光盈，就日即眀尽，月禀日光而成形兆，故云日兆月也。月光乃出，故成明月。待日然后能舒其光，以成其眀。星辰乃得行列。
《灵宪》曰：衆星被曜，因水火转光，故能成其行列。是故秋分以徃到冬至，三光之精微以成，其道远。日从中衡徃至外衡，其径日远，以其相远，故光微。不言从冬至到春分者俱在中衡之外，其同可知。此天地隂阳之性自然也。自然如此，故曰性也。欲知北极枢，璇周四极。极中不动，璇玑也。言北极璇玑，周旋四至。极，至也。常以夏至夜半时，北极南游所极。游在枢南之所至。冬至夜半时北游所极游在枢北之所至。冬至日加酉之时，西游所极。游在枢西之所至。日加卯之时，东游所极。游在枢东之所至。此北极璇玑四游。北极游常近冬至，而言夏至夜半者极见，冬至夜半极不见也。正北极璇玑之中，正北天之中，正极之所游。极处璇玑之中，天心之正，故曰璇玑也。冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表顚，希望北极中大星，引绳致地而识之。顚首，希仰致至也。识之者所望大星表首及绳至地，参相直而识之也。又到旦明日加卯之时，复引绳希望之首，及绳致地而识其端，相去二尺三寸。日加卯酉之时，望至地之相去子也。故东西极二万三千里。影寸千里，故为东西所致之里数也。其两端相去正东西。以绳至地，所谓两端相直，为东西之正也。中折之以指，表正南北。所识两端之中，与表为南北之正。加此时者皆以漏揆度之。此东西南北之时，
冬至日加卯酉者北极之正，东西日不见矣。以漏度之者一日一夜百刻，从半夜至日中，从日中至夜半，无冬夏常各五十刻，中分之得二十五刻，加极卯酉之时，揆亦度也。其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。北极东西之时，与天中齐，故以所望表勾，为天之去周之里数。何以知其南北极之时？以冬至夜半，北游所极也，北过天中万一千五百里。以夏至南游所极，不及天中万一千五百里。此皆以绳系表，顚而希望之。北极至地所识，丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里，过天中万一千五百里。其南极至地所识，九尺一寸半，故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千五百里。此璇玑四极南北过不及之法，东西南北之正勾。以表为股，以影为勾绳，至地所亦加矩，中径二万六千六百三十二里有竒。法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，馀二万六千六百三十三里，取一里破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一，馀一百四十二万三千四百二十四，即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。周去极十万三千里，日去人十六万七千里。夏至去周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里，周七十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里，周一百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二百四十三万里，从周南三十万二千里。影言正勾者四方之影皆正而定也。璇玑，径二万三千里，周六万九千里。此阳絶隂彰，故不生万物。春秋分谓之隂阳之中，而日光所照，适至璇玑之径，为阳絶隂彰，故万物不复生也。
其《术》曰：立正勾定之。正四方之法也。以日始出立表而识其晷，日入复识其晷。晷之两端相直者正东西也。中折之指表者正南北也。极下不生万物。何以知之？以何法知之也？冬至之日，去夏至十一万九千里，万物尽死。夏至之日，去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之氷。氷冻不解，是以推之夏至之日，外衡之下为冬矣。万物当死，此日远近为冬夏，非隂阳之气爽，或疑焉。春分秋分，日在中衡。春分以徃，日益北五万九千五百里而夏至。秋分以徃，日益南五万九千五百里而冬至。并冬至夏至，相去十一万九千里。以徃，日益北，近中衡。以徃，日益南，逺中衡。中衡，去周七万五千五百里。影七尺五寸五分。中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。此欲以内衡之外，外衡之内，常为夏也。然其修广爽，未之前闻。此阳彰隂微，故万物不死，五谷一歳再熟。近日阳多农再熟，凡北极之左右，物有朝生暮获。获，疑作获。谓葶苈荠麦冬生之类。北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜。物有朝生暮获者亦有春刍而秋熟。然其所育，皆是周地冬生之类。荠麦之属言左右者不在璇玑二万三千里之内也。此阳微隂彰，故无夏长之类。立二十八宿以周天历度之法以，用也。列二十八宿之度，用周天。
《术》曰：倍正南方。倍，犹背也。正南方者二极之正南北也。以正勾定之。正勾之法：日出入，识其晷。晷两端相直者正东西。中折之，以指表正南北。即平地，径二十一歩，周六十三歩，令其平矩，以水正。如定水之平，故曰平矩，以水正也。则位径一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五尺四分尺之一。径一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸。五分者四分之一。而或言一百二十尺，举其全数。以应周天三百六十五度四分度之一。审定分之，无令有纎㣲。所分平地周一尺为一度，二寸五分为四分度之一，其令审定，不欲使有细小之差也。纎，微细分也。
《臣鸾》曰：求一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五度四分度之一。法：列径一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者即四分之一，此即周天三百六十五度四分度之一。分度以定，则正督经纬而四分之一，合各九十一度十六分度之五。南北为经，东西为纬。督亦通尺，周天四分之一。又以四乘分母，以法除之。
《臣鸾》曰：求分度以定四分之一，合各九十一度十六分度之五法。列周天三百六十五度，以四分度之一，而通分内之五法，千四百六十一为实。更以四乘分母，得十六为法。除之得九十一，不尽五，即是各九十一度十六分度之五也。
于是圆定而正。分所圆为天度，又四分之，皆定而正。则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中。引绳至经纬之交以望之，星与表绳参相直也。则复望须女之星先至者。复候须女中，则当以绳望之。如复以表绳，希望须女先至定中。须女之先至者又复如上引绳，至经纬之交以望之。即以一游仪希望牵牛中央星出中正表西几何度。游仪，亦表也。游仪移望星为正，知星出中正之表西几何度，故曰游仪。各如游仪，所至之尺为度数。所游分圆周一尺，应天一度，故以游仪所至尺数为度。游在于八尺之上，故知牵牛八度。须女中而望，牵牛游在八尺之上，故牵牛为八度。其次星放此，以尽二十八宿度则之矣。皆如此上法定。立周度者。周天之度各以其所先，至游仪度上，二十八宿不以一星为体，皆以先至之星为正之度。车辐引绳，就中央之正以为毂，则正矣。
以经纬之交为毂，以圆度为辐，知一宿得㡬何度，则引绳如辐凑毂为正，望星定度皆以方为正南，知二十八宿为几何度，然后环而布之也。日所以入，亦以周定之。亦同望星之周。欲知日之出入，出入二十八宿，东西南北面之宿，列置各应其方，立表望之，知日出入何宿，从出入径几何度。即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿。以二十八宿列置地所圆周之度，使四面之宿各应其方。以东井夜半中，牵牛之初，临子之中。东井牵牛，相对之宿也。东井临午，则牵牛临于子也。东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之中。牵牛初亦当临丑之中。分周天之度为十二位，而十二辰各当其一，所应十二月，从午至未三十度十六分度之七，未与丑相对，而东井牵牛之所居分之法，巳陈于上矣。
《臣鸾》曰：求东井出中正表西三十度十六分度之七法：先通周天，得一千四百六十一为实。以位法十二乘周天分母，以得四十八为法。除实得三十度，不尽二十一，更副置法。实等数平于三约，不尽二十一得七，约法四十八得十六，即位三十度一十六分度之七。于是天与地恊。恊，合也。置东井牵牛，使居丑未相对，则天之列宿与地所为图周相应合，得之矣。乃以置周二十八宿。从东井牵牛所居，以置十二位焉。置以定，乃复置周度之中央，立正表。置周度之中央者经纬之交也。以冬至夏至之日，以望日始出也。立一游仪于度上，以望中央表之晷。从日所出度，上立一游仪，皆望中表之晷。所以然者当矅，不复当日得以觇之也。晷参正，则日所出之宿度。游仪与中央表及晷参相直，游仪之下，即所出合宿度。日入放此。此日出法求之。
牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九。牵牛，冬至日所在之宿于外。衡者与极相去之度数。
《术》曰：置外衡，去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里。北极常近牵牛为枢，过极万一千五百里，此求去极，故以除之。其不除者二十二万六千五百里以为实。以三百乘之，里为歩。以周天分一千四百六十一乘歩分，内衡之度，以周天分为法。法有分，故以周天乘实。齐同之，得九百九十二亿七千四百九十五万。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三以为法。如上乘内歩，歩为通分，内子得八亿五千六百八十万。实如法得一度。以八亿五千六百八十万为一度法。不满法，求里歩。上求度，故以此次求里，次求歩。约之，合三百得一以为实。上以三百乘里为歩而求里，故以三百约馀分为里之实。以千四百六十一分为法，得一里。里歩皆以周天之分为母。求度当齐，同法实等，故乘以散之。度以定当次求，故还为法。不满法者三之，如法得百歩。上以三百约之为里之实，此当以三乘之为歩之实，而言之者不欲转法，更以一位为百实，故从一位命为百也。不满法者又上十之，如法得一歩。又复上之者便以一位为一实，故从一实为一。不满法者以法命之。位尽于一歩，故以其法命馀为残分。次放此。次娄与角及东井，皆如此也。
《臣鸾》曰：求牵牛星去极法：先列衡去极枢二十三万八千里，减极去枢心一万一千五百里，馀二十二万六千五百里。以三百乘里，得六千七百九十五万歩。又以周天分一千四百六十一乘之，得九百九十二亿七千四百九十五万歩为实。更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三，亦以三百乘一千九百五十四里为歩，内二百四十七歩得五十八万六千四百四十七歩。又以周天分母千四百六十一乘歩，内子九百三十三，得八亿五千六百八十万为法。以除实，得一百一十五度。不尽七亿四千二百九十五万，去下法不用。更以三百约馀分七亿四千二百九十五万，得二百四十七万六千五百为实。更以周天分千四百六十一除之，得一千六百九十五里。不尽一百五，以三百乗之，得三万一千五百。复以前法除之，得二十一歩。不尽八百一十九，即牵牛去北极一百二十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九。娄与角，去北极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。娄，春分日所在之宿也。角，秋分日所在之宿也。为中衡也。
《术》曰：置中衡，去北极枢十七万八千五百里，以为实。不言加除者娄与角准。北极在枢两旁，正与枢齐。以娄角无差，故便以去枢之数为实。如上乗里为歩，歩为分，得七百八十二亿三千六百五十五万。以内□一度数为法，实如法得一度。不满法者求里歩。不满法者以法命之。
《臣鸾》曰：求娄与角去极法：列中衡去极枢十七万八千五百里，以三百乗之，得五千三百五十五万歩。又以周天分千四百六十一分乘之，得七百八十二亿三千六百五十五万为实。以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三，亦以三百乘里内歩二百四十七，得五十八万六千四百四十七歩。又以分毋千四百六十一分乗之，内子得八亿五千六百八十万为法。以除实得九十一度，不尽二亿六千七百七十五万。以三百约之，得八十九万二千五百。下法不用。以周天分千四百六十一除之，得六百一十里，不尽千二百九十。以三百乗之，得三十八万七千。如前法除之，得二百六十四歩，不尽一千二百九十六。即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。东井，去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之千二百四十五。东井，夏至日所在之宿，为内衡。
《术》曰：置内衡，去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里。北极游常近东井为枢，不及极万一千五百里，此求去极，故加之。得十三万五百里以为实。如上乘里为歩，歩为分，得五百七十一亿九千八百一十五万分。以内衡一度数为法，实如法得一度。不满法者求里歩。不满者以法命之。
《臣鸾》曰：求东井去极法：列内衡去极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，得十三万五百里。以三百乘里为歩，复以分毋千四百六十一乘之，得五百七十一亿九千八百一十五万为实。通分内衡一度数为歩，歩为分，得八亿五千六百八十万为法。以除实，得六十六度，不尽六亿四千九百三十五万。以三百约之，得二百一十六万四千五百。下法不用。更以周天千四百六十一为法除之，得千四百八十一里，不尽七百五十九。以三百乘之，得二十二万七千七百。复以周天分除之，得一百五十五歩，不尽一千二百四十五。即是东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之一千二百四十五。凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何？
冬至晷，长一丈三尺五寸。
小寒，丈二尺五寸小分五。
大寒，丈一尺五寸一分小分四。
立春。丈五寸二分。小分三
雨水，九尺五寸二分小分二。
啓蛰，八尺五寸四分小分一。
春分，七尺五寸五分。
清明，六尺五寸五分小分五。
榖雨。五尺五寸六分小分四
立夏。四尺五寸七分。小分三
小满，三尺五寸八分小分一。
芒种，二尺五寸九分小分一。
夏至一尺六寸。
小暑。二尺五寸九分。小分一
大暑。二尺五寸八分。小分二
立秋。四尺五寸七分小分三
处暑。五尺五寸六分。小分四
自露六尺五寸五分小分五。
秋分，七尺五寸五分。
寒露，八尺五寸四分小分一。
霜降。九尺五寸三分。小分二
立冬。丈五寸二分。小分三
小雪，丈一尺五寸一分小分四。
大雪，丈二尺五寸小分五。
凡为八节二十四气。
二至者寒暑之极。二分者隂阳之和。四立者生长収藏之始。是为八节。节三气，三而八之，故为二十四。气，损益九寸九分六分分之一。损者减也。破一分为六分，然后减之。益者加也。以小分满六得一，从分。冬至夏至为损益之始冬至晷长，极当反短，故为损之始。夏至晷短，极当反长，故为益之始。此爽之新术。
《术》曰：置冬至晷，以夏至晷减之，馀为实，以十二为法。十二者半歳十二气也。为法者一节益之，法实如法得一寸，不满法者十之，以法除之得一分。求分，故十之也。不满法者以法命之。
法与馀分皆半之也。旧晷之术，于理未当。谓春秋分者隂阳晷等各七尺五寸五分，故中衡去周七万五千五百里。按春分之影七尺五寸七百二十三分，秋分之影七尺四寸二百六十二分，差一寸四百六十一分。以此推之，是为不等。冬至至小寒多半日之影，夏至至小暑少半日之影，芒种至夏至多二日之影，大雪至冬至多三日之影。又半歳一百八十二日八分日之五，而此用四分日之二率，故一日得七百三十分寸之四百七十六，非也。节候不正，十五日有二十二分日之七。以一日之率，十五日为一节，至令差错不通尤甚。
《易》曰：旧井无禽，时舎也。言法三十日，实当攺而舎之。于是爽更为新术，以一气率之，使言约法易，上下相通，周而复始。除纰缪。
《臣鸾》曰：求二十四气损益之法，先置冬至影长丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸减之，馀一丈一尺九寸，上十之为实，以半歳十二为法，除之得九寸，不尽十一，复上十之，如法而一，得九分，不尽二，与法十二，皆半之，得六分之一，即是气损益法。先置冬至影长丈三尺五寸，以气损益九寸九分六分分之一，其破一分以为六分，减其馀，即是小寒影长丈二尺五寸小分五，馀悉依此法。求益法：置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一増之，小分满六从大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一，次气彷此。
臣淳风等谨按，此术本及赵君卿注求二十四气影例，损益九寸九分六分分之一，以为定率。检勘术注，有所未通。又按宋书历志所载何承天元嘉历影，冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，啓蛰六尺七寸二分，春分五尺三寸九分，清明四尺二寸五分，谷雨三尺二寸五分，立夏二尺五寸，小满一尺九寸七分，芒种一尺九寸九分，夏至一尺五寸，小暑一尺六寸九分，大暑一尺九寸七分，立秋二尺五寸，处暑三尺三寸五分，白露四尺二寸五分，秋分五尺三寸九分，寒露六尺七寸二分，霜降八尺二寸八分，立冬九尺九寸一分，小雪一丈一尺三寸四分，大雪一丈二尺四寸八分。司马续汉·志所载四分暦影，亦与此相近。至如祖冲之历宋大明历影，与何承天虽有小差，皆是量天实数。讐校三历，足验君卿所立率虚诞。且周髀本文，外衡下于天中六万里，而二十四气率乃足平迁。所以知者按望影之法，日近影短，日远影长。又以高下言之，日高影短，日卑影长。夏至之日最近北，又最高，其影尺有五寸。自此以后，曰行渐远向南，天体又渐向下，以及冬至。冬至之日最近南，居于外衡，日最近下，故日影一丈三尺。此当毎歳差降有别，不可均为一槩，设其升降之理。今此又自冬至毕于芒种，自夏至毕于大雪，均差毎气损九寸有竒，是为天体正平，无高卑之异。而日但南北均行，又无升降之殊，即无内衡高于外衡六万里，自相矛楯。又按尚书考灵曜所陈格上格下里数，及郑注升降逺近，虽有成䂓，亦未臻理实。欲求至当，皆依天体高下远近，修䂓以定差数。自霜降毕于立春，升降差多，南北差少。自雨水毕于寒露，南北差多，升降差少。依此推歩，乃得其实。然事渉浑仪，与盖天相返。月，后天十三度十九分度之七。月后天者月东行也。此见日月与天俱西南游，一日一夜天一周，而月在昨宿之东，故曰后天，又曰章歳。除章月，加日周，一日作率，以一日所行为一度，周天之日为天度。
《术》曰：置章月二百三十五，以章歳十九除之，加日行一度，得十三度十分九度之七。此月一日行之数，即后天之度及分。
《臣鸾》曰：月后天十三度十九分度之七，法列章月二百三十五，以章歳十九除之，得十二度，加日行一度，得十三度，馀十九分度之七，即月后天之度分。
小歳月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。小歳者十二月为一歳。一歳之月，十二月则有馀，十三月复不足。而言大小歳通閠，月为不及，故舍亦犹后天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牵牛之初，而月十二与日会，此数月发牵牛所行之度也。
《术》曰：置小歳三百五十四日九百四十分日之三百四十八。
小歳者除经歳十九分月之七，以七乘周天分千四百六十一，得万二百二十七，以减经歳之积分，馀三十三万三千一百八，则小歳之积分也。以九百四十分除之，即得小歳之积日及分。以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。通分内子为二百五十四之乘者乘小歳积分也。又以度分母乘日分母为法。实如法得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十三。以月后天分乘小歳积分，得八千四百六十万九千四百三十二，则积后天分也。以度分母十九乘日分母九百四十，得万七千八百六十除之，即得。以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。此犹四分之一也，约之即得，当于齐同，故细言之。通分内子为六百五十二万三千三百六十五，除积后天分，得十二周天，即去之。其不足除者：不足除者不及故舎之六百三十二万九千五十二是也。寅曰三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二，以万七千八百六十除不及故舎之分，得此分矣。此月不及故舎之分度数。他皆放此。次至经月皆如此。
《臣鸾》曰：求小歳月不及故舍法：列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子，得三十四万三千三百三十五，是为经歳之积分。以十九分月之七，以七乘周天分一千四百六十一，得万二百二十七，以减经歳积分，不尽三十三万三千一百八，小歳积分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不尽三百四十八，还通分内子，复得本积分三十三万三千一百八。更置月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四，以乘本积分，得积后天分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列月后天分毋十九，以乘日分母九百四十，得万七千八百六十为法，除之，得积后天四千七百三十七度，不尽六千六百一十二，即是得四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二，还通分内子，得本分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分内子，得六百五十二万三千三百六十五，以除实得十二，下法不用，馀分即不及故舎之分六百三十二万九千五十二。更以日月分毋相乘，得万七千八百六十为法，除分不及故舎之分六百三十二万九千五十二，得三百五十四度，不尽六千六百一十二，即不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。
大歳月不及故舎十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。大歳者十三月为一歳也。《术》曰：置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。大歳者加经歳十九分月之十二，以十二乘周天分千四百六十一，得万七千五百三十二。以加经歳积分，得三十六万八百六十七，则大歳之积分也。以七百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分母乘日分，毋为法。实如法得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。此月后天分乘大歳积分，得九千一百六十六万二百一十八，则积后天分也。以周天除之。除积后天分，得十四周天，即去之。其不足除者：不足除者三十三万三千一百八是也。此月不及故舎之分度数。
《臣鸾》曰：求大歳月不及故舎法：列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子，得经积分三十四万三千三百三十五。更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一，得一万七千五百三十二。以经歳积分加大歳积分，得三十六万八百六十七为实。以九百四十除之，得大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。还通分内子，本分三十六万八百六十七。更列月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四。以乘本分，得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实。以万七千八百六十为法除之，得积后天度五千一百三十二，不尽二千六百九十八即命分。还通内子，得本积后天分九千一百六十六万二百一十八为实。以周天分六百五十二万三千三百六十五为法除实，得十四周天之数。馀以日月分母万七千八百六十除之，得大歳不及故舎十八度，不尽万一千六百二十八即以命分也。经歳月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百里。经，常也，即十二月十九分月之七也。
《术》曰：置经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五。经歳者通十二月十九分月之七为二百三十五，乘周天千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，则经歳之积分。又以周天分毋四乘二百三十五，得九百四十为法，除之即得。以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。以月后天分乘经歳积分，得八千七百二十万七千九十，则积后天之分。以周天除之。除积后天分，得十三周天，即去之。其不足除者：不足除者二百四十万三千三百四十五是也。此月不及故舎之分度数。
《臣鸾》曰：求经歳月不及故舍法：列十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五，以乘周天分千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，即经歳分也。以日分母四乘二百三十五，得九百四十为法，以除得经歳三百六十五日，不尽二百三十五，即命分还通分，内子，即复本歳分三十四万三千三百三十五。更列通月后天度分二百五十四，以乘经歳分，得积后天分八千七百二十万七千九十为实。更列万七千八百六十除实，得积后天度四千八百八十二，不尽万四千五百七十，即命分还通分，内子，复本积后天分为实。以周天分六百五十二万三千三百六十五除实，得十三周天，即去之，馀分三百四十万三千三百四十五，以万七千八百六十除之，得不及故舎百三十四度，不尽万一百五，即以命分也。小月不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百三十五。小月者二十九日为一月，一月之二十九日则有馀，三十日复不足，而言大小者通其馀分。
《术》曰：置小月二十九日。小月者减经月之积分四百九十九，馀二万七千二百六十，则小月之积也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分毋乘日分，毋为法。实如法，得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。以月后天乘小月积分，得六百九十二万四千四十，则积后天之分也。以周天分除之。除积后天分，得一周天而去之。其不足除者：不足除者四十万六百七十五。此月不及故舎之分度数。
《臣鸾》曰：求小月不及故舎法：置二十九日，以九百四十乘之，得二万七千二百六十，则小月之分也。更列月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四，以乘小月分，得六百九十二万四千四十为实，以万七千八百六十为法，除实得三百八十七度，不尽万二千二百二十以命分。还通分内子，得本实。更列周天分六百五十二万三千三百六十五，除本实，得一周天，不尽四十万六百七十五，即不及故舎之分。又以万九千八百六十除不及故舎之分，得二十二度，不尽七千七百三十五，即以命分。
大月不及故舎三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。大月者三十日为一月也。
《术》曰：置大月三十日。大月加经积分四百四十一，得二万八千二百，则大月之积分也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分毋乘日分，毋为法。实如法，得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。以月后天分乘大月积分七百一十六万二千八百，则积后天之分也。以周天除之。除积后天分，得一周天，即去之。其不足除者：不足除者六十三万九千四百三十五是也。此月不及故舎之分度数。
《臣鸾》曰：求大月不及故舎法：置三十日，以九百四十乘之，得二万八千二百，以后天分二百五十四乘之，得七百一十六万二千八百为实，以万七千八百六十为法，以除实，得四百一度，不尽九百四十，即以命分，还通分，内子，复本实。更以周天六百五十二万三千三百六十五为法，除本实，得一周，馀不足，除积六十三万九千四百三十五分，以万七千八百六十为法，以除实，得大月不及故舎三十五度，不尽万四千三百三十五，即命分也。经月不及故舎二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一。经，常也。常月者一月，月与日合数。
《术》曰：置经月二十九日九百四十分日之四百九十九。经月者以十九乘周天分一千四百六十一，得二万七千七百五十九，则经月之积。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。以月后天分乘经月积分，得七百五万七百八十六，则积后天之分。以周天除之。除积后天分，得一周天，即去之。其不足除者：不足除者五十二万七千四百二十一是也。此月不及故舎之分度数。
《臣鸾》曰：求经月不及故舎法：以十九乘周天分千四百六十一，得二万七千七百五十九，即经月积分。以九百四十除积分，得经月二十九日九百四十分日之四百九十九，还通分，内子，得本经月积分。以后天分乘本积分，得七百五万七百八十六，即后天之积分。更以万七千八百六十除之，得积后天三百九十四度，不尽万三千九百四十六，即以命分，还通分，内子，得本后天积分为实。以周天六百五十二万三千三百六十五除之，得一周，馀分五十二万七千四百二十一，即不及故舎之分。以一万七千八百六十除之，得经月不及故舎二十九度，不尽九千四百八十一，即以命分。
冬至昼极短，日出辰而入申。如上日之分入何宿法，分十二辰于地所圆之周舎，相去三十度十六分度之七。子午居南北，卯酉居东西。日出入时，立一游仪，以望中央表之晷。游仪之下，即日出入。阳照三，不覆九。阳，日也。覆，犹徧也。照三者南三，辰已午未。东西相当正南方。日出入相当，不覆三辰，为正南方。夏至昼极长，日出寅而入戍，阳照九不覆三。不覆三者北方三辰：亥子丑。冬至日出入之三辰属昼，昼夜互见，是出入三辰分为昼夜各半明矣。
《考灵曜》曰：分周天为三十六头，头有十度九十六分度之十四。长日分于寅，行二十四头。入于戍，行十二头。短日分于辰，行十二头。入于申，行二十四头。此之谓也。
东西相当正北方。出入相当，不覆三辰，为北方。日出左而入右，南北行。圣人南面而治天下，故以东为左，西为右。日冬至从南而北，夏至从北而南，故曰南。北行，故冬至从坎。阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。冬至十一月，斗建子，位在北方，故曰从坎。坎亦北也，阳气所始，故曰在子。巽东南，坤西南，日见少晷，阳照三，不覆九也。夏至从离隂在午，日出艮而入干，见日光多，故曰暑。夏至五月，斗建午位，在南方，故曰在午。艮东北，干西北，日见多晷，阳照九，不覆三也。日月失度，而寒暑相奸。
《考灵曜》曰：在璇玑玉衡，以齐七政，璇玑未中而星中，是急，急则日过其度，不及其宿，璇玑玉衡中而星未中，是舒，舒则日不及其度，夜月过其宿，璇玑中而星中，是周，周则风雨时，风雨时则草木蕃盛，而百谷熟，故《书》曰：急常寒若，舒常燠若，急舒不调是失度，寒暑不时卽相奸。徃者诎，来者信也，故屈信相感。从夏至南往，日益短，故曰诎。从冬至北来，日益长，故曰信。言来往相推，诎信相感，更衰代盛，此天之常道。
《易》曰：日徃则月来，月徃则日来，日月相推而明生焉。寒徃则暑来，暑徃则寒来，寒暑相推而歳成焉。徃者诎也，来者信也，诎信相感而利生焉。此之谓也。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者徃，右者来。冬至日出，从辰来北，故曰右行。夏至日出，从寅徃南，故曰左行。故月与日合为一月。从合至合，则为一月。日复日为一日。从旦至旦，则为一日。日复星为一岁。冬至日出在牵牛，从牵牛周，牵牛则为一岁也。外衡冬至日在牵牛。内衡夏至日在东井。六气复返，皆谓中气。中气，月中也。言日月徃来，中气各六。
《传》曰：先王之正时，履端于始，举正于中，归馀于终。谓中气也。隂阳之数，日月之法。谓隂阳之度数，日月之法。十九岁为一章章，条也。言闰馀尽为法章条也。
《干象》曰：辰为岁中，以御朔之月而纳焉。朔为章中，除朔为章月，月差为闰。
《臣鸾》曰：岁中除章中为章歳。求馀法：置中气相去三十日十六分日之七，通分内子，得四百八十七。又置从朔至朔一月之日二十九九百四十分日之四百九十九，通之得二万七千七百五十九。二者法异，当同之者以中气分母十六乘朔分，得四十四万四千一百四十四，变为中气积分也。以朔分母九百四十乘中气分，得四十五万七千七百八十，为朔日积分。以少减多，求等数平之，得一千九百四十八为法。除中气积，得二百二十八，卽章中也。更以一千九百四十八除朔积分，得二百三十五，卽章月也。章月与章中差七，即一章之闰。更置二百二十八，以岁中十二除之，得十九，为章岁也。更置章月二百三十五，以章岁十九除之，得十二月十九分月之七，即一年之月也。
四章为一蔀，七十六岁。蔀之言齐，同日月之分为一蔀也。一岁之月，十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五。一岁之日，三百六十五日四分日之一，通之得一千四百六十一。分母不同，则子不齐，当互乘之。以齐同之者以日分母四乘月分，得九百四十，卽一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之岁。以一岁之月除蔀月，得七十六岁。又以一岁之日除蔀日，亦得七十六矣。岁月馀旣终，日分又尽，衆残齐合，羣数毕满，故谓之蔀。
《臣鸾》曰：求蔀法，列章岁十九，以四乘之，得一蔀七十六岁。求一蔀之月法，十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五，即月分也。更列一岁三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一，以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九，卽一蔀之日。以日分毋四乘月分母十九，得七十六，卽一蔀之岁。更以月分母十九乘蔀月九百四十，得万七千八百六十为实，以十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五为法，以除实，得七十六，亦一蔀之岁也。更列一蔀之日二万七千七百五十九，以分母四乘之，得十一万一千三十六为实，以周天分千四百六十一除之，得一蔀之岁七十六也。二十蔀为一遂，遂千五百二十岁。遂者竟也。言五行之德，一终竟极，日月辰终也。
《干凿度》曰：至德之数，先立金木水火土五，凡各三百四岁。五德运行，日月开辟。甲子为蔀首七十六岁，次得癸卯蔀七十六岁，次壬午蔀七十六岁，次辛酉蔀七十六岁，凡三百四岁，木德也，主春生。次庚子蔀七十六岁，次已卯蔀七十六岁，次戊午蔀七十六岁，次丁酉蔀七十六岁，凡三百四岁，金德也，主秋成。次丙子蔀七十六岁，次乙卯蔀七十六岁，次甲午蔀七十六岁，次癸酉蔀七十六岁，凡三百四岁，火德也，主夏长。次壬子蔀七十六岁，次辛卯蔀七十六岁，次庚午蔀七十六岁，次巳酉蔀七十六岁，凡三百四岁，水德也，主冬藏。次戊子蔀七十六岁，次丁卯蔀七十六岁，次丙午蔀七十六岁，次乙酉蔀七十六岁，凡二百四岁，土德也，主致养。其德四，正子午卯酉而朝四时焉。凡一千五百二十岁，终一纪，复甲子，故谓之遂也。求五德日名之法，置一蔀者七十六岁，德四蔀，因而四之，为三百四岁。以一岁三百六十五日四分日之一乘之，为十一万一千三十六，以六十去之，馀三十六，命甲子，算外，得庚子，金德也。求次德，加三十六去之，命如前，则次德日也。求算蔀名，置一章岁数，以周天分乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，馀三十九，命以甲子，算外，得癸卯蔀。求蔀，加三十九，满六十去之，命如前，得次蔀。
《臣鸾》曰：求遂法，列一蔀七十六岁，以二十乘之，得千五百二十岁，即以遂之岁求五德。金木水火土法，列一蔀七十六岁，以周天分千四百六十一乘之，得十一万一千三十六，卽以六十除之，馀三十六，命从甲子，算外，得庚子，凡三百四岁，主秋成，金德也。加三十六，得七十二，以六十除之，馀十二，命从甲子，算外，得丙子，凡三百四岁，火德，主夏。长次放此。求蔀名，列一章十九岁，以周天分一千四百六十一岁乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，馀三十九，命从甲子，算外，得癸卯蔀七十六岁。复加三十九，亦六十去之，馀十八，命亦起甲子，算外，次得壬午。蔀次放此，至甲子卽止之。三遂为一首，首四千五百六十岁。首，始也。言日月五星终而复始也。
《考灵曜》曰：日月首。甲子冬至，日月五星俱起牵牛初，日月合若璧，五星如联珠。青龙甲寅摄提格，并四千五百六十岁，积及初，故谓首也。
《臣鸾》曰：求一首法，列遂一千五百二十岁，三之得一首，四千五百六十岁也。七首为一极，极三万一千九百二十岁，生数皆终，万物复始。极，终也。言日月星辰，弦望晦朔，寒暑推移，万物生育皆复始，故谓之极。
《臣鸾》曰：求极先列一首四千五百六十，以以七乘之，得一极三万一千九百二十岁也。天以更元作纪历。元始作为七纪，法天数，更始复为法述之。何以知天三百六十五度四分度之一？而日行一度，而月后天十三度十九分度之七。二十九日九百四十分日之四百九十九为一月，十二月十九分月之七为一岁。非周髀本文，盖人问师之辞，其欲知度之所分，法术之所生耳。周天除之。除积后，天分得一周，卽弃之。其不足除者如合朔。古者包牺神农制作为历度，元之始见三光，未如其则。三光日月星，则法也。日月列星，未有分度。则星之初列，谓二十八宿也。日主昼，月主夜，昼夜为一日，日月俱起建星。建六星，在斗上也。日月起建星，谓十一月朔旦冬至日也。为历术者度起牵牛前五度，则建星其近也。月度疾，日度迟。度，日月所行之度也。日月相逐于二十九日三十日间。言日月二十九日则未合，三十日复相过。而日行天二十九度馀。如九百四十分日之四百九十九。未有定分。未知馀分定几何也。于是三百六十五日南极影长，明日反短。以岁终日影反长，故知之。三百六十五日者三，三百六十六日者一。影四岁而后知差一日，是为四岁共一日，故岁得四分日之一。故知一岁三百六十五日四分日之一岁终也。月积后天十三周，又与百三十四度馀。经数月，后天之周，故度求之，馀者未知也。言欲求之也。无虑，后天十三度十九分度之七，未有定。无虑者粗计也。此巳得月后天数，而言未有者求之意未有见故也。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星。月行一月，则行过一周而与日合。七十六岁九百四十周天，所过复九百四十日七十六周，并之得一千一十六，为一月后天率。分尽度终，复还及初也。
《臣鸾》曰：求于是日行天七十六周，日行天千一十六周，及合于建星法，以九百四十周并七十六周，得一千一十六周，则日月气朔合于建星。置月行后天之数，以日后天之数除之，得一十三度十九分度之七，则月一日行天之度。以日度行率除月行率，一日得月度几何？置月行率一千一十六为实，日行率七十六为法，实如法而一，法及馀分皆四约之，与干象同归而殊途，义等而法异也。复置七十六岁之积月。置章岁之月二百三十五，以四乘之，得九百四十，则蔀之积月也。以七十六岁除之，得十二月十九分月之七，则一岁之月，亦以四约法除分，蔀岁除月，与章岁除章月同。置周天度数，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，则一月日之数。通周天四分日之一，为千四百六十一。通十二月十九分月之七，为二百三十五分。母不同则子不齐，当互乘以同齐之。以十九乘千四百六十一，为二万七千七百五十九。以四乘二百三十五，为九百四十。及以除之，则月与日合之数。
《臣鸾》曰：求日行一度法，还置前一千一十六，以七十六岁除之，得十三度，不尽二十八。以求等平于四，以四约馀得七，约分得十九，是十三度十九分度之七。更列一章，岁积月二百三十五，以周天分母四乘之，卽一蔀。月九百四十，亦以七十六岁除之，得一岁之十二月十九分月之七。馀分及法，并以四约，更通周天，得千四百六十一，复通十二月十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之，以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九，以日分母四乘月分，得九百四十，除之二万七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月与日合，此其□也。
《周髀音义》
假承务郞秘书省钧考算经文字臣李籍撰
《周髀音义》序
周髀步米切。周髀算经者以九数勾股重差，算日月周天行度远近之数，皆得于股表，卽推步盖天之法也。髀者股也，以表为股。周天历度，本包牺氏立法，其传自周公，受之于大夫商高，周人志之，故曰周髀。赵君卿撰雏免切。述也。君卿，赵爽字也，不详何代人。恢苦回切。大也。廓落上枯郭切。下历各切。晷仪居洧切。日影也。度量上达各切。下録章切。探赜上吐南切。下上革切。赜者含蓄。含蓄者探之可及，故易中有曰探□索隐上色白切。下于谨切。隐者隐匿。隐匿者索之可得，故易曰索隐。诡异上居委切。下于冀切。诡，谲怪也。浑天胡昆切。浑天者言天地之体，譬如鸟卵，天包地外，犹壳之褁黄也，周旋无端，其形浑浑然，故曰浑天。史官候台所用铜仪，则其法也。立八尺圆体，具天地之形，以正黄道，古察发敛，以行日月，以歩五纬，精微深妙，不代百易之道也。官有其器，而无其书。盖天居大切。盖天之说，即周髀是也。其言天似盖笠，地似覆盘，天地各中高外下，北极之下为天地之中，其地最高，而滂沱四隤，三光隐映，以为昼夜。天中高于外衡，冬至日之所在六万里，北极下地二万里，天地隆高相从，日去地常八万里，日丽天而平转，分冬夏之间日前行道为七衡六间，毎衡周径里数各依算术，用勾股重差推晷影极游，以为逺近之数，皆得于表股者也，故曰周髀。
又《周髀家》云：天圆如张盖，地方如棋局，天旁转如推磨而左行，日月右行随天左转，故日月实东行，而天牵之以西没，譬之于蚁行磨石之上，磨左旋而蚁右去，磨疾而蚁迟，故不得不随磨以左廻焉。天形南高而北下，日出高故见，日入下故不见，天之形如倚盖，故极在人北，是其证也。极在天之中，而今在人北，所以知天之形如倚盖也。灵宪诈建切。灵宪，张衡所述，其说主于浑天。重仞上直龙切，下音刅，八尺曰仞。奥于到切。迥戸顶切。逺也。
《周髀音义》卷上
甄鸾上之人切。下历官切。甄鸾，北周司□校尉。重述上直龙切。下时律切。赵爽旣加注释，甄鸾又从而发明，故曰重述。善数色具切。数，算也。包牺上蒲交切。下虚宜切。历度徒个切。而度大各切。量也。
勾股圆方图勾，古侯切。股，公土切。圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股。共结一角邪适五，乃圆方邪径相通之率也。勾股圆方图盖以此设，学者观之，思过半矣。弦胡田切。共结一角也。率朔律切。数相与也。又音律。竒耦上居宜切。下乌口切。矩俱雨切。折之列切。更相上古衡切。下息羊切。共盘上渠用切。下蒲官切。昏垫都念切。下也。
《书》曰：下民昏垫。并卑政切。勾股之差楚佳切。不齐也。勾股之差，其数差一，谓勾三股四也。量均力仗切。为袤莫候切。长也。偃矩覆矩偃，于宪切。仰也。覆，敷目切。俯也。矩，表也。仰表所以望高，俯表所以测深。方属地殊玉切。下同。滂沲上普郎切。下唐何切。四隤徒回切。列星之宿思救切。二十八宿之度也。礼记·月令：宿离不忒是也。不省息井切。省，窹也。不省，言不窹也。犹言不敏也。累思鲁水切。累，重也。直能切。才单德寒切。单，尽也。驰思相吏切。虑也。捕影蒲故切。索也。掩曰衣检切。覆也。表间古闲切。隆杀所介切。薄地□各切。迫也。姜芨莲及切。晋人也。交趾音止。郡名也。去洛阳一万一千里。路迁云俱切。逺也。頴川□顷切。郡名。祖冲之持中切。冲之，宋南徐州从事史，撰缀术五卷。秣陵音末。郡名。信都芳并如字。善算者也。撰器凖三卷。虞扩苦郭切。梁太史令。
日高图并如字。日高图者求日高之法也。求日高法，先置表八尺为八万里为袤，以两表相去二千里为广，广袤相乘得一亿六千万里为黄甲之实，以影差二寸为二千里为法除之，得黄乙之袤八万里，卽上与日齐，此设图之意也。黄甲古狎切。王城去天名曰甲。黄乙亿栗切。日底地上至日名曰乙。青丙□永切。上天名青丙。青戊莫候切。下地名青戊。极者竭忆切。诸言极者斥天中极，去周十万三千里。□衣检切。覆也。九隩于到切。土可居也。靡地母被切。无也。斥昌石切。指也。缘宿息救切。二十八宿也。蚀乘力切。日月□曰蚀，稍小侵，□如蠧食草木之叶也。适至施直切。恰也。发敛力冉切。发徃敛还也。璇玑上音璇，下音机。逮音迨。及也。有竒居宜切。数之馀也。
《易》曰：归竒于扐。冬至夏至观律之数听锺之音律吕戍切。□陀定切。此谓冬夏二至合八能之士，以观律之数而听钟音之清浊也。
晋《律历志》曰：隂阳和则景至，律气应则灰除。是故天子常以冬夏至日御前殿，合八能之士，陈八音，听乐均，度晷影，侯锺律，权土炭，效隂阳。冬至阳气应则灰除，是故乐均清，影长极，黄锺通，土炭轻而衡仰。夏至隂气应则乐均浊，影短极，㽔宾通，土炭重而衡低。进退于先后五日之中，八能各以候状闻，太史令封丄效则和，否则占。
七衡图何庚切。七衡者七䂓也。谓䂓为衡者取其衡运则生䂓。䂓者正圆之谓也。内一衡径二十三万八千里，次二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩，次三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩，次四衡径三十五万七千里，次五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩，次六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩，次七衡径四十七万六千里，即其径而三之，则各得其周也。凡日月运行之图，周七衡，周而六间，一衡之间万九千八百三十三里一百歩，以六衡乘之，即夏至冬至相去十一万九千里也。青图画者胡卦切。界也。俗作画。合际上胡合切。下子例切。常处昌据切。所也。□呈延切。次也。卯酉上莫饱切。下以久切。皆辰名也。卯正东也。酉正西也。牵牛上轻烟切。下如字。率牛，北方宿也。冬至日在牵牛。娄卢侯切。娄，西方宿也，春分日在娄。东井子郢切。南方宿也，夏至日在东井。角记岳切。东方宿也，秋分日在角。用缯慈陵切。帛也。吕氏两举切。吕氏者吕氏春秋也。吕不韦为秦相国，集当世儒士，使着所闻，为十二纪八览六论，合十馀万言，备古今之事，名为吕氏春秋。四海呼改切。《吕氏春秋》曰：几四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。
《尔雅》云：九夷八狄七戎六蛮，谓之四海。言东西南北之数者将明车辙马迹之所至。《河图括地象》亦云：里数而有君长之州九，阻中国之文德，及而不治。又云：八极之广，东西二亿二万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。
《淮南子》地形训云：禹使大章歩自东极至于西极，孺亥歩自北极至于南极，而数皆然。河图括地象括音䀨。河图括地象纬书名也。《淮南子》并如字。汉淮南王安所着之书也。大章音泰。人名。六间古闲切。两衡相去之间也。粗通徂五切。略也。放此甫两切。效也。下同。
《周髀音义》卷下
四和户戈切。调也。四和者谓之极。子午卯酉，得东西南北之中，天地之所合，四时之所交，风雨之所会，隂阳之所和。然则百物阜安，草木蕃庻，故曰四和。阜安房缶切。盛也。蕃庻符□切。茂也。易处夷益切。交也。盖笠上居大切。下音立。覆盘上方六切。下蒲官切。离地力智切。去也。障蔽上之亮切。隔也。下必䄃切。奄也。日兆月直绍切。日者阳之精，譬犹火光。月者隂之精，譬犹水光。月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽。当日则光盈，就日则明尽。月禀日光而成形兆，故云日兆月也。魄匹陌切。月之明消也。
《康诰》曰：惟三月哉生魄。
《孔安国》曰：三月始生魄，月十六日眀消而魄生。
《杨子》曰：旣望则终魄于东。亦此意也。行列胡刚切。极枢春朱切。
《尔雅》曰：枢谓之枨。《郭璞》云：门戸扉枢也。此言极枢者取其居中而临制四方也。绳系古诣切。结也。表颠多年切。顶也。中折之列切。屈也。漏卢候切。漏以铜受水，刻节昼夜百刻。
《晷漏中星畧例》曰：日行有南北，晷漏有长短。然二十四气，晷差迟疾不同，勾股使然也。直䂓中则差迟，与勾股数齐则差急，随辰极高下，所遇不同。如黄道刻漏，此乃数之浅者近代且犹未晓。今推黄道去极，与晷影漏刻昏距中星四术，反覆相求，消息同率，施相为中，以合九股之变。揆度上巨癸切。下大各切。释施□切。散也。朝生陟遥切。旦也。暮获胡麦切。获，胡郭切。収也。葶苈上音亭。下音历。荠麦在礼切。正勾上音政。下音鈎。无令离呈切。使也。纎微思廉切。细也。督音笃。察也。分度徒固切。数也。经纬上坚丁切。下子贵切。南北为经，东西为纬。圆定正音政。则复扶富切。又也。须女如字。星名也。游仪如字。游仪，所以望星也。眞观中，李淳风造四游仪，元枢为轴，以连结玉衡游筒，而贯约䂓矩。又元枢北立，北辰南距，地轴旁转于内，玉衡在元枢之间，而南北游，仰以观天之辰宿，下以识器之晷度。开元九年，率府兵曹叅军梁令瓉以木为游仪，一行是之，乃奏：黄道游仪，古有其术而无其噐，昔人潜思未能得。今令瓉所为日道月交，皆自然契合，于推步尤要，请㫖更铸以铜。十年仪成。车辐方六切。所以实论而凑毂者也。以圆度为辐。为毂古禄切。所以受辐也。以经纬之交为毂。二十八宿息救切。副置敷救切。别也。别置算也。下同。地恊檄颊切。合也。相应于证切。叅正上仓含切。下音正。八节并如字。二至者寒暑之极。二分者隂阳之和。四立者生长収藏之始。是为八节。二十四气并如字。一歳凡八节，节三气，三而入之，故为二十四气。气损益九寸九分六分分之一并如字。损者减也。破一分为六分，然后减之。益者加也。加以小分，满六分得一，从分。冬至并如字。至，极也。冬至夏至，寒暑之极。啓蛰直立切。藏也。
《易》曰：龙蛇之蛰，以存身也。
左氏《传》曰：啓蛰而郊。春分府文切。分之言中也。春分为阳之中，秋分为隂之中。芒种上莫郎切。下之用切。处暑昌据切。所也。时舎音舍。不用也。虚诞音但。谩也。一概古代切。矛楯上莫浮切。下食闰切。矛所以勾，楯所以蔽，噐不同不相为用。凡言矛楯者况其所趣异也。后天并如字。月后天者月东行者也。此见日月与天俱西南游，一日一夜天一周，而月在昨夜之东，故曰后天。故舎式夜切。舎谓二十八宿之舎也。积后天资昔切。以月后天分看小岁积分，则积后天分也。大岁徒盖切。大歳者十三月为一歳也。经岁坚丁切。经，常也。经歳者通十二月十九分之七。小月并如字。小月者二十九日为一月。大月徒盖切。大月者三十日为一月。经月坚丁切。经月者以十九乘周天分，则经月之积。合朔上曷合切。下色角切。覆九敷救切。盖也。下同。当音当。正南方音政。三十六头并如字。
《考灵曜》曰：分周天为三十六头，头有十度九十六分之十四。长日分于寅，行二十四头，入于戌，行十二头。短日分于辰，行十二头，入于申，行二十日。头北之谓也。坎苦感切。正北方之卦也。巽苏困切。东南隅之卦也。坤苦溷切。西南隅之卦也。离吕支切。正南方之卦也。干渠焉切。西北隅之卦也。艮古恨切。东北隅之卦也。章止良切。条也。十九歳为一章，言馀闰尽为暦法章条也。蔀薄口切。蔀之言齐，同日月之分也。而又衆残齐合，羣数毕满，故谓之蔀。四章为一蔀，凡七十六歳也。遂徐醉切。遂者终也。言五行之德，一终尽极，日月辰终也。二十蔀为一遂，凡千五百二十歳。首始九切。始也。言日月五星终而复始也。三遂为一首，凡四千五百六十歳也。极如字。终也。言日月星辰，弦望晦朔，寒暑推移，万物生育，终而复始，故谓之极。七首为一极，凡三万一千九百二十歳也。干凿度徒固切。干凿度，易纬书也。
《周髀音义》终
附：算学源流
《晋书律历志》：黄帝纪三纲而阐书契，乃使羲和常仪占月，车区占星气，伶伦造律吕，大挠造甲子，□□作算数。容成緫斯六术，考定气象，建行察发，饮起消息，正闰馀，述而着焉，谓之调历。
《汉书律历志》：一曰律数，二曰和声，三曰审度，四曰嘉，五曰权衡。数者一十百千万也。所以算数事物，顺性命之理也。其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍叅。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术乎。
附：算法歌诀
开平方法少人通，起手先呼九数重。百与万同并百万，二三隔位一相从。千同十万和千万，三四连身九九终。除尽虚加一倍，回还折半复原宗。
